UNA FUNCIÓN TRASCENDENTE Y ALGO MÁS...
LA HISTORIA DE LAS FUNCIONES SE REMONTA A LA GRECIA ANTIGUA CON FILÓSOFOS COMO THALES DE MILETO, Y PITÁGORAS QUE INTENTARON EXPLICAR LA NATURALEZA DE LA REALIDAD MEDIANTE RELACIONES MATEMÁTICAS.
EMPEZAMOS ESTE RECORRIDO.....
EN ESTE BLOG VAMOS A VER CONCEPTOS BÁSICOS DE DOS FUNCIONES MUY ESPECIALES: LA FUNCION RACIONAL(ALGEBRAICA) Y LA FUNCIÓN EXPONENCIAL(TRASCENDENTE)
UN POCO DE HISTORIA...
FUE A PARTIR DEL SIGLO XVII QUE LAS FUNCIONES MATEMÁTICAS COMENZARON A DESARROLLARSE GRACIAS A LOS MATEMÁTICOS DESCARTES, LEIBNIZ Y EULER
DESCARTES FUE EL PRIMERO EN INTRODUCIR EL CONCEPTO DE COORDENADAS CARTESIANAS (PARA REPRESENTAR GRAFICAMENTE LAS FUNCIONES)
SI QUIERES SABER MAS SOBRE ESTA CURIOSIDAD DE DESCARTES, A CONTINUACIÓN TE DEJO EL VIDEO
LEIBNIZ PROPORCIONÓ UN MARCO MATEMÁTICO PARA ESTUDIARLAS Y EULER CONTRIBUYÓ AL DESARROLLO DE MUCHAS FUNCIONES IMPORTANTES COMO EXPONENCIALES, SENO Y COSENO.
ANTES DE COMENZAR CON LOS CONTENIDOS DE ESTE BLOG RECORDEMOS...
¿QUE ES UNA FUNCIÓN?
UNA FUNCIÓN DE A EN B ES UNA RELACIÓN QUE ASOCIA A CADA ELEMENTO X DE A, UNO Y SOLO UNO ELEMENTO Y DEL CONJUNTO B, LLAMADO IMAGEN.
EN LOS SIGUIENTES GRÁFICOS SE PUEDE OBSERVAR LA DIFERENCIA ENTRE FUNCIÓN Y RELACIÓN
LA FUNCIÓN ES UNA RELACIÓN, PERO NO TODA RELACIÓN ES FUNCION ...PIENSA... ¿ESTA AFIRMACIÓN ES VERDADERA?
AHORA QUE YA REPASAMOS EL CONCEPTO DE FUNCIÓN SIGAMOS PROFUNDIZANDO, COMO YA VIMOS EN EL MAPA CONCEPTUAL DEL INICIO DE ESTE BLOG, LAS FUNCIONES PUEDEN CLASIFICARSE EN ALGEBRAICAS O TRASCENDENTES, PERO... QUE SIGNIFICA ESTO? VEAMOS UN POCO MÁS....
UNA FUNCIÓN ALGEBRAICA ES UNA FUNCIÓN QUE INVOLUCRA SOLO OPERACIONES ALGEBRAICAS, COMO SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN Y POTENCIAS.
UNA FUNCIÓN TRASCENDENTE ES UNA FUNCIÓN QUE NO ESTA FORMADA POR VARIABLES Y NUMEROS RELACIONADOS POR OPERACIONES ALGEBRAICAS COMO SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN POTENCIACION Y RADICACIÓN.
MIRA EL SIGUIENTE VIDEO PARA ACLARAR UN POCO MÁS ...
VAMOS A VER UNA FUNCIÓN ALGEBRAICA: LA FUNCION RACIONAL
ES UNA FUNCIÓN DE LA FORMA:
F(x)= P(x) / Q(x) siendo P(x) y Q (x) polinomios, Donde Q(X) no puede ser cero
PARA CALCULAR EL DOMINIO SE IGUALA EL DENOMINADOR A CERO Y SE HALLAN LOS VALORES DE X. EL DOMINIO ES EL CONJUNTO DE LOS REALES MENOS LOS VALORES DE X ENCONTRADOS.
PARA CALCULAR LA IMAGEN SE IGUALA LA FUNCIÓN A Y, Y SE DESPEJA X. LOS VALORES QUE NO PUEDE TOMAR Y SON LOS QUE NO PERTENECEN A LA IMAGEN
EN LAS FUNCIONES RACIONALES HAY CASOS PARTICULARES:
1) F (x) = K/X DONDE K ES UN NÚMERO REAL
DOMINIO
EL DENOMINADOR DEBE SER DISTINTO DE CERO ENTONCES :
DOM = R - (0)
LA RECTA DE LA ECUACIÓN X=0 ES UNA ASÍNTOTA VERTICAL (AV) DE LA FUNCIÓN
IMAGEN
Y=K/x ENTONCES X= K/Y DONDE Y DEBE SER DISTINTO DE CERO ENTONCES:
IMAG = R - (0)
LA RECTA DE LA ECUACIÓN Y=0 ES UNA ASINTOTA HORIZONTAL (AH) DE LA FUNCIÓN
¿QUE ES ESTO DE ASINTOTA?
UNA ASINTOTA ES UNA RECTA A LA CUAL LA GRAFICA SE VA APROXIMANDO INDEFINIDAMENTE SIN LLEGAR A CRUZARLA, PUEDE SER HORIZONTAL O VERTICAL, GRAFICAMENTE SE REPRESENTA CON UNA LINEA DE PUNTOS O CORTADA
2) F(x) = K/ Q(X) SIENDO K UN NÚMERO REAL Y Q(X) NO NULO
DOMINIO
EL DENOMINADOR DEBE SER DISTINTO DE CERO, ENTONCES HACEMOS
X - 3 = 0
X = 3 (VALOR QUE NO PUEDE TOMAR X)
DOM= R - 3
X= 3 ES A.V
IMAGEN
F(X) = 5/X-3
Y=5/X-3
X-3= 5/Y
X=5/Y + 3 Y NO PUEDE SER CERO,ENTONCES
IMAG= R - (0)
Y =0 ES UNA ASINTOTA HORIZONTAL (AH)
PARA AFIANZAR ESTOS CONTENIDOS TE PROPONGO RESOLVER LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES:
ANÁLISIS DE UNA FUNCION RACIONAL
MIRA EL SIGUIENTE VIDEO PARA AFIANZAR TUS CONOCIMIENTOS...
AHORA A PRACTICAR UN POCO MAS...
GRAFICAR LAS SIGUIENTES FUNCIONES:
A) F(X)= 3/ 2X - 3
B) F(x)= -3/4
C) F(x)= -2/X+3
D) F(x) = 4/X
E) F(x) = 4/3-X
Y AHORA UNA FUNCIÓN TRASCENDENTE...LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL?
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES
- EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL SON TODOS LOS NÚMEROS REALES, O DICHO CON OTRAS PALABRAS, UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL EXISTE POR CUALQUIER VALOR DE X.
- SIN EMBARGO, LA FUNCIÓN SOLO TOMA VALORES POSITIVOS, POR LO TANTO, EL RECORRIDO O RANGO DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL SON TODOS LOS NÚMEROS REALES POSITIVOS
- EL VALOR DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL EN X=1 ES IGUAL A LA BASE.
- SI LA BASE DE LA POTENCIA ES MAYOR QUE 1 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL ES CRECIENTE.
- SI EL COEFICIENTE ESTÁ DENTRO DEL INTERVALO ENTRE 0 Y 1 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL ES DECRECIENTE.
- EN GENERAL, EL EJE X ES UNA ASÍNTOTA HORIZONTAL DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL.
- LA INVERSA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL ES LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. POR TANTO, LAS GRÁFICAS DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA SON SIMÉTRICAS RESPECTO DE LA RECTA Y=X SI AMBAS POSEEN LA MISMA BASE.
CÓMO REPRESENTAR EN UNA GRÁFICA UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL
LAS FUNCIONES EXPONENCIALES SON MUY SENCILLAS DE REPRESENTAR. ASÍ QUE VAMOS A VER CÓMO GRAFICAR UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL EN UN GRÁFICO MEDIANTE UN EJEMPLO.
EN LAS FUNCIONES EXPONENCIALES NO HACE FALTA CALCULAR EL DOMINIO, PORQUE SIEMPRE SERÁN TODOS LOS NÚMEROS REALES
ENTONCES, SIMPLEMENTE TENEMOS QUE HACER LA TABLA DE VALORES. COMO ESTE TIPO DE FUNCIONES CAMBIAN MUCHO DE UN PUNTO A OTRO, CALCULAREMOS 5 PUNTOS. PERO CUANTOS MÁS PUNTOS CALCULEMOS, MÁS PRECISA SERÁ LA REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN.
ATENCIÓN...
TE RECOMIENDO USAR LA CALCULADORA PARA HALLAR LOS PUNTOS DE LA TABLA DE VALORES, YA QUE SON COMPLICADOS DE CALCULAR A MANO.
VEAMOS UN EJEMPLO:
PARA IR TERMINANDO ESTE TEMA TAN INTERESANTE TE CUENTO QUE ESTE TIPO DE FUNCIONES SON MUY UTILIZADAS EN LA VIDA COTIDIANA,,, QUIERES SABER PARA QUE... TE PROPONGO QUE VEAS LO SIGUIENTE:
A CONTINUACIÓN TE VOY A DEJAR UNOS EJERCICIOS PARA QUE PRACTIQUES.....
HASTA AQUÍ LLEGAMOS POR AHORA, PROXIMAMENTE SEGUIREMOS CON FUNCIONES LOGARÍTMICAS, UN CONCEPTO FASCINANTE QUE ABRIRÁ NUEVAS PUERTAS AL ESTUDIO DE FUNCIONES... Y PARA QUE VEAS QUE MATEMÁTICA NO SON SOLO NÚMEROS TE DEJO UNA PEQUEÑA HISTORIA....
